数学オリンピック本選2024 第2問

任意のmをとり,f(m)\lt pかつ\gcd(f(m),p)=1であるような素数pをとって,n=p-f(m)とおく.

このときm|\text{lcm}(m,f(m+f(n)))=\text{lcm}(f(m),f(m)+n)=\text{lcm}(f(m),p)|f(m)p.

よって任意のmに対してm|f(m)が得られる.

次にm=1,n=f(1)とすると,

f(1+f(1))=\text{lcm}(m,f(m+f(n)))=\text{lcm}(f(m),f(m)+n)=\text{lcm}(f(1),2f(1))=2f(1).

前の議論から,ある自然数aによりf(1+f(1))=a(1+f(1))とおけるが,a\geq 2と仮定すると,2+2f(1)\leq a(1+f(1))=2f(1)より矛盾.

したがってa=1であり,1+f(1)=f(1+f(1))=2f(1)からf(1)=1.

次にm=1とすると,

f(1+f(n))=\text{lcm}(m,f(m+f(n)))=\text{lcm}(f(m),f(m)+n)=\text{lcm}(1,1+n)=1+n.

前の議論から,f(n)=an,f(1+f(n))=b(1+f(n))とおくとb+abn=1+nが得られ,結局a=b=1が必要.特にf(n)=nが得られる.

逆にfをf(n)=nとすれば,両辺は\text{lcm}(m,m+n)と等しいことが分かるので条件を満たす.

したがって求める関数はf(n)=nのみである.

 

感想

あんまり見ないタイプの関数方程式だなあと思った.