数学オリンピック本選2024 第1問

以下 $a_0$ は $a_{n}$ を, $a_{n+1}$ は $a_1$ を指すものとする.

$\{a_i\}$ の中で絶対値が最大なものの1つを $a_k$ と置く.

・ $a_k$ が正の場合.

$a_{k-1}\lt a_{k}$ だとすると

$|a_{k-1}-2a_{k}|=2a_{k}-a_{k-1}=a_k+(a_{k}-a_{k-1})\gt a_k=|a_k|$ であり矛盾.

よって $a_{k-1}= a_{k}$ .

これを繰り返すことで $\{a_i\}$ は全て等しいことが分かる.

・ $a_k$ が負の場合.

$a_{k-1}\gt a_{k}$ だとすると

$|a_{k-1}-2a_{k}|=a_{k-1}-2a_{k}=(a_{k-1}-a_k)-a_k\gt -a_k=|a_k|$ であり矛盾.

よって $a_{k-1}= a_{k}$ .

これを繰り返すことで $\{a_i\}$ は全て等しいことが分かる.

・ $a_k$ が0の場合.

$\{a_i\}$ は全て0なので全て等しい.

したがっていずれの場合も $\{a_i\}$ は全て等しいことが分かった.

これを $a$ とおくと条件から $a-2a=a$ が必要であり,つまり $a=0$ である.

ゆえに条件を満たすのは $\{a_i\}$ が全て $0$ の場合のみである.

感想

和が0になることぐらいはすぐに分かるしどうせ全部0の場合しかなさそうと思えるがその後の発想が少し難しい.思いつけば記述は簡単そう.